【数学】微积分A2小结

考前复习总结——微积分A2篇。

新渲染环境的Latex有一点缺陷，一些复杂Latex不能正常显示。如果想知道到底是啥样，可以自己复制走渲染一下（）。

偏导数

多元复合函数偏导数

对于$F = u(x) + v(x) + w(x)$，有：
$$
\frac {\partial F} {\partial x} = \frac {\partial F} {\partial u}·\frac {\partial u} {\partial x}+\frac {\partial F} {\partial v}·\frac {\partial v} {\partial x}+\frac {\partial F} {\partial w}·\frac {\partial w} {\partial x}
$$
以此类推。

注意：偏导数符号$\partial$只能对多元函数使用，若对应函数是单元函数，则应该使用微分符号$d$。

多元隐函数的偏导数

若隐函数$F = f(x, y, z)$，其中 z 是关于 x, y 的函数，则：
$$
\frac {\partial z} {\partial x} = -\frac {\frac {\partial F} {\partial x}} {\frac {\partial F} {\partial z}}
$$
对于 y 的偏导数也类似，约分后其实是一样的。

方向导数

若函数f(x, y)在点P(x0, y0)可微分，那么函数在该点任意方向l的方向导数存在且有：
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=f’_x(x_0,y_0)cos\alpha+f’_y(x_0,y_0)cos\beta
$$

梯度

$$\begin{gathered} 令gradf(x_0,y_0)=\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)i+f_y^{\prime }(x_0,y_0)j \\ \mathrm{\nabla }=\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}i+\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}j \\ 若函数f(x,y)在点P(x_0,y_0)可微分，e_l=(cos\alpha ,cos\beta )是与l同向的单位向量 \\ 则:\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }l}{|}_{(x_0,y_0)}& =f_x^{\prime }(x_0,y_0)cos\alpha +f_y^{\prime }(x_0,y_0)cos\beta \\ & =gradf(x_0,y_0)\cdot e_l\\ & =|gradf(x_0,y_0)|cos\theta \\ 其中\theta =\widehat{grad(f(x_0,y_0),e_l)}\end{array} \end{gathered}$$

一些性质

成员相同，则结果相同，与路径无关。
$$
\frac {\partial^2 Z} {\partial x \partial y} = \frac {\partial^2 Z} {\partial y \partial x}
$$

全微分

多元函数的全微分

$$
dZ=\frac {\partial Z} {\partial x}dx + \frac {\partial Z} {\partial y}dy+…
$$

由全微分求未知参数

先把全微分中的$\frac {\partial Z} {\partial x}$对应到具体的表达式，然后对另外一个变量求偏导。因为成员相同则结果相同，得到方程。求解即可。

多元函数求极值

1. 求出满足$\frac {\partial z} {\partial x} = 0$和$\frac {\partial z} {\partial y} = 0$的解$(x, y)$。

2. 令$ A = \frac {\partial^2 z}{\partial x^2},B=\frac {\partial^2 z}{\partial x\partial y}, C=\frac {\partial^2 z}{\partial y^2} $，将第一步的解代入，求出A, B, C。

3. 求$B^2-AC$的值，有：
   $$B^2-AC\{\begin{array}{lr}<0,A<0& 极大值\\ <0,A>0& 极小值\\ =0& 不确定\\ >0& 不是极值点\end{array}$$

4. 极值为函数在(x, y)的值。

多元隐函数求极值

与上述步骤相似，第一步中的方程组加上原方程。

多元函数求最值

1. 求出偏导=0的解。
2. 找出定义域的边界。
3. 将解和边界都带入原函数，求出结果。
4. (对于式子，取最大值和最小值。)
5. 取这些函数值的最值。

一些知识点

1. 如果一个多元函数的偏导在某一点连续，那么该函数在改点可微。
2. 如果一个多元函数在某一点可微，则这个函数在该点连续。
3. 如果一个多元函数在某一点可微，则这个函数在该店有偏导。
4. 连续与偏导无关。

1
2
3
4

graph LR
偏导连续-->函数可微
函数可微-->函数连续
函数可微-->函数能偏导

空间向量

向量长度

$$
|\vec a|=\sqrt {a^2_1+a^2_2+…}
$$

向量点乘

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\vec a\cdot\vec b
&=(x_1,y_1,z_1)\cdot(x_2,y_2,z_2)\
&=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
\end{aligned}
\end{equation}
$$

向量叉乘

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}& =(a_1,a_2,a_3)\times (b_1,b_2,b_3)\\ & =\left|\begin{array}{}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|\\ & =\overrightarrow{i}\left|\begin{array}{}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|+\overrightarrow{j}\left|\begin{array}{}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right|+\overrightarrow{k}\left|\begin{array}{}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|\end{array}$$

向量夹角

$$
\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot cos\theta
$$

向量投影

$$
|\vec{a_{Projection}}|=\frac {\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|} \
\vec {a_{Projection}}=|\vec{a_{Projection}}|\cdot\frac {\vec b}{|\vec b|}
$$

一些结论

• 点乘为0，则向量垂直。
• 叉乘为0，则向量平行。
• 向量各坐标成比例，则向量平行。
• 若 向量a × 向量b = 向量c，则 c 垂直于 a, b 和其所在平面。

空间几何

表示方法

$$
平面方程：Ax+By+Cz+D=0 \
对应法向量：\vec n=(A, B, C) \
$$

$$\begin{gathered} 直线L经过点M(x_0,y_0,z_0),且方向向量为\overrightarrow{s}=(l,m,n) \\ 则L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} \\ 两个面联立表示其交线，叫做直线的一般式方程 \end{gathered}$$

点到面的距离

$$
d=\frac {|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt {A^2+B^2+C^2}}
$$

点到线的距离

$$\begin{gathered} d=\sqrt{(x_p-x_0{)}^2+(y_p-y_0{)}^2+(z_p-z_0{)}^2} \\ 其中，x_p、y_p、z_p为方程组\{\begin{array}{l}l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)\\ 直线方程\end{array}的解 \end{gathered}$$

曲线在某点处的切线和法平面

$$\begin{gathered} 对于曲线\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}在点(x(t_0),y(t_0),z(t_0))的 \\ 切线方程为:\frac{x-x(t_0)}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z^{\prime }(t_0)} \\ 法平面方程为:x^{\prime }(t_0)[x-x(t_0)]+y^{\prime }(t_0)[y-y(t_0)]+z^{\prime }(t_0)[z-z(t_0)]=0 \end{gathered}$$

若不是参数方程形式的曲线，可以把$x’(t)$看作1，把整体对$x$求导得到$y’_x$和$z’_x$,代入上式

曲面在某点处得切平面与法线

$$\begin{gathered} 在点(x_0,y_0,z_0)处的 \\ 切平面方程为:F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 \\ 法线方程为:\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)} \end{gathered}$$

二重积分

$\int dx\int dy\ $格式的二重积分

1. 将未知数集中到后边；
2. 计算后半部分积分；
3. 计算前半部分积分；

交换积分次序

1. 把未知数集中到后边；
2. 画出积分区域；
3. 将x和y的数字/式子交换，使之表示同一片区域；
4. 写出交换结果

$\iint_{\Sigma}d\sigma\ $格式的二重积分

1. 画出积分区域；
2. 分离 x 和 y；
3. 将$d\sigma\ $改成$dxdy\ $；
4. 化为$\int dx\int dy\ $格式的二重积分求解；

与圆有关的二重积分

$$
令\ x=rcos\theta,\ y=rsin\theta,\ dxdy=rd\theta dr
$$

对称区域的二重积分

$$\begin{gathered} 关于x轴对称，则若f(-x,y)=\{\begin{array}{l}-f(x,y),则{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0\\ f(x,y),则{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{\frac{D}{2}}f(x,y)d\sigma \end{array} \\ y轴同理，原点为f(-x,-y)与f(x,y)的关系。 \end{gathered}$$

特殊情况

$$
\iint1d\sigma=区域面积
$$

三重积分

计算三重积分$\iiint_\Omega xdV$，其中Omega常见类型为：

$$\begin{gathered} 面Ax+By+Cz+D=0与三个坐标面 \\ 球面(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2 \\ 椭球面\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \\ 抛物面a{x}^2+b{y}^2=A-z与平面z=0 \\ 锥面z=\sqrt{a{x}^2+b{y}^2}与平面z=A \end{gathered}$$

1. 使用z=?的形式表示上表面和下表面；
2. 求$g(x, y)=\int_{下表面}^{上表面}f(x, y, z)dz$；
3. 求$\Omega在平面xOy的投影Dxy$；
4. 答案$=\iint_{Dxy}g(x, y)d\sigma\ $；

曲线积分

第一类曲线积分（质量）

$$\begin{gathered} 对于曲线L=\{\begin{array}{l}x=x(\theta )\\ y=y(\theta )\end{array}(\alpha \le \theta \le \beta ) \\ {\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(\theta ),y(\theta ))\cdot \sqrt{(x^{\prime }(\theta ){)}^2+(y^{\prime }(\theta ){)}^2}d\theta \\ 对于直线L:y=y(x),将\theta 换成x,视为:\{\begin{array}{l}x=x\\ y=y(x)\end{array} \end{gathered}$$

多段积分，互相加减。

第二类曲线积分（坐标轴）

$$\begin{gathered} 对于曲线L=\{\begin{array}{l}x=x(\theta )\\ y=y(\theta )\end{array}(\alpha \le \theta \le \beta ) \\ {\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{\alpha }^{\beta }P(x(\theta ),y(\theta ))\cdot x^{\prime }(\theta )+Q(x(\theta ),y(\theta ))\cdot y^{\prime }(\theta )d\theta \\ 对于直线L:y=y(x),将\theta 换成x,视为:\{\begin{array}{l}x=x\\ y=y(x)\end{array} \end{gathered}$$

多段积分，互相加减。

格林公式

$$\begin{gathered} 对于第二类曲线积分{\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy, \\ 若L为正向(逆时针)无交叉闭曲线,且P,Q在L的区域内有连续的一阶偏导,则 \\ {\oint }_{L}Pdx+Qdy={\iint }_D(\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y})dxdy \\ 逆时针则取负号。 \end{gathered}$$

重要结论

$$
对于第二类曲线积分\int_LP(x, y)dx+Q(x,y)dy, \
若\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},则积分与路径无瓜。
$$

特殊情况

$$
\int_L1ds=L长度
$$

曲面积分

第一类曲面积分（质量）

当Σ:z=z(x, y)时

公式：
$$
\iint_\Sigma f(x,y,z)ds=
\iint_{Dxy}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy
$$

1. 画出Σ，表示出投影Dxy；
2. 将Σ表示成z=?的形式，求出f(x, y, z(x, y))；
3. 求出z对x, y的偏导数；
4. 代入公式；

Σ的其他形式以此类推。

第二类曲面积分（流量）

对于$\iint_\Sigma P(x, y, z)dydz$
$$从x正向向负向看:\{\begin{array}{ll}能看到曲面\mathrm{\Sigma }& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)dydz={\iint }_{Dyz}P(x(y,z),y,z)dydz\\ 看不到曲面\mathrm{\Sigma }& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)dydz=-{\iint }_{Dyz}P(x(y,z),y,z)dydz\\ 曲面\mathrm{\Sigma }缩成线& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P(x,y,z)dydz=0\end{array}$$
答案$ans=\sum{ 所有部分 }$

对于其他情况($dxdz, dxdy$)，以此类推。

Gauss公式

$$
\iint_{\partial\Omega}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz
$$

微分方程

可分离变量的微分方程

1. 分离变量
2. 两边积分

复合的微分方程

1. 换元代入
2. 分离积分
3. 换回x, y

一阶线性系数非齐次微分方程

形如$y’=P(x)y=Q(x)\ $的微分方程叫做一阶线性系数非齐次微分方程，

通解为：
$$
y=e^{-\int P(x)dx}\cdot[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]
$$

二阶线性系数非齐次微分方程

首先有表：

求通解$\overline y\ $:

1. 将x项暂时改为零；
2. 将$y^{(n)}\ $改写成$r^n \ $，得到特征方程；
3. 分解因式，求方程解，得到特征根；
4. 根据特征根情况，对每个特征根划分类型；
5. 各个特征根的结果相加即为通解；

求特解$y^*\ $:

1. 将 x 项都化成$x^me^{\lambda x}\ $的形式，得出 m 和 λ ；

2. 根据 λ 的值确定k的值：
   $$
   \begin{cases}
   \lambda 不是特征方程的根 &\Rightarrow k=0 \
   \lambda 是特征方程的单根 &\Rightarrow k=1 \
   \lambda 不是特征方程多重根 &\Rightarrow k=2 \
   \end{cases}
   $$

3. 该特解为：
   $$
   y^*=x^k(b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_mx^0)e^{\lambda x}
   $$

4. 将得出的特解代入题干式子，求出b，消参；

5. 求出特解；

微分方程的解为
$$
y=\overline y+\sum y^*_i
$$

后记

本小结到此结束，课标为郑州大学出版社的《微积分A2》。

本小结由冻葱Tewi撰写于20190622。