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一言

【数学】微积分A2小结

【数学】微积分A2小结

考前复习总结——微积分A2篇。

新渲染环境的Latex有一点缺陷,一些复杂Latex不能正常显示。如果想知道到底是啥样,可以自己复制走渲染一下()。

偏导数

多元复合函数偏导数

对于$F = u(x) + v(x) + w(x)$,有:
$$
\frac {\partial F} {\partial x} = \frac {\partial F} {\partial u}·\frac {\partial u} {\partial x}+\frac {\partial F} {\partial v}·\frac {\partial v} {\partial x}+\frac {\partial F} {\partial w}·\frac {\partial w} {\partial x}
$$
以此类推。

注意:偏导数符号$\partial$只能对多元函数使用,若对应函数是单元函数,则应该使用微分符号$d$。

多元隐函数的偏导数

若隐函数$F = f(x, y, z)$,其中 z 是关于 x, y 的函数,则:
$$
\frac {\partial z} {\partial x} = -\frac {\frac {\partial F} {\partial x}} {\frac {\partial F} {\partial z}}
$$
对于 y 的偏导数也类似,约分后其实是一样的。

方向导数

若函数f(x, y)在点P(x0, y0)可微分,那么函数在该点任意方向l的方向导数存在且有:
$$
\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=f’_x(x_0,y_0)cos\alpha+f’_y(x_0,y_0)cos\beta
$$

梯度

grad f(x0,y0)=f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j=xi+yj若函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微分,el=(cosα,cosβ)是与l同向的单位向量则:fl|(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ=grad f(x0,y0)el=|grad f(x0,y0)|cosθ其中θ=grad (f(x0,y0), el)^

一些性质

成员相同,则结果相同,与路径无关。
$$
\frac {\partial^2 Z} {\partial x \partial y} = \frac {\partial^2 Z} {\partial y \partial x}
$$

全微分

多元函数的全微分

$$
dZ=\frac {\partial Z} {\partial x}dx + \frac {\partial Z} {\partial y}dy+…
$$

由全微分求未知参数

先把全微分中的$\frac {\partial Z} {\partial x}$对应到具体的表达式,然后对另外一个变量求偏导。因为成员相同则结果相同,得到方程。求解即可。

多元函数求极值

  1. 求出满足$\frac {\partial z} {\partial x} = 0$和$\frac {\partial z} {\partial y} = 0$的解$(x, y)$。

  2. 令$ A = \frac {\partial^2 z}{\partial x^2},B=\frac {\partial^2 z}{\partial x\partial y}, C=\frac {\partial^2 z}{\partial y^2} $,将第一步的解代入,求出A, B, C。

  3. 求$B^2-AC$的值,有:
    B2AC{<0,A<0极大值<0,A>0极小值=0不确定>0不是极值点

  4. 极值为函数在(x, y)的值。

多元隐函数求极值

与上述步骤相似,第一步中的方程组加上原方程。

多元函数求最值

  1. 求出偏导=0的解。
  2. 找出定义域的边界。
  3. 将解和边界都带入原函数,求出结果。
  4. (对于式子,取最大值和最小值。)
  5. 取这些函数值的最值。

一些知识点

  1. 如果一个多元函数的偏导在某一点连续,那么该函数在改点可微。
  2. 如果一个多元函数在某一点可微,则这个函数在该点连续。
  3. 如果一个多元函数在某一点可微,则这个函数在该店有偏导。
  4. 连续与偏导无关。
1
2
3
4
graph LR
偏导连续-->函数可微
函数可微-->函数连续
函数可微-->函数能偏导

空间向量

向量长度

$$
|\vec a|=\sqrt {a^2_1+a^2_2+…}
$$

向量点乘

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\vec a\cdot\vec b
&=(x_1,y_1,z_1)\cdot(x_2,y_2,z_2)\
&=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
\end{aligned}
\end{equation}
$$

向量叉乘

a×b=(a1,a2,a3)×(b1,b2,b3)=|ijka1a2a3b1b2b3|=i|a2a3b2b3|+j|a1a3b1b3|+k|a1a2b1b2|

向量夹角

$$
\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot cos\theta
$$

向量投影

$$
|\vec{a_{Projection}}|=\frac {\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|} \
\vec {a_{Projection}}=|\vec{a_{Projection}}|\cdot\frac {\vec b}{|\vec b|}
$$

一些结论

  • 点乘为0,则向量垂直。
  • 叉乘为0,则向量平行。
  • 向量各坐标成比例,则向量平行。
  • 若 向量a × 向量b = 向量c,则 c 垂直于 a, b 和其所在平面。

空间几何

表示方法

$$
平面方程:Ax+By+Cz+D=0 \
对应法向量:\vec n=(A, B, C) \
$$

直线L经过点M(x0,y0,z0),且方向向量为s=(l,m,n)L:xx0l=yy0m=zz0n两个面联立表示其交线,叫做直线的一般式方程

点到面的距离

$$
d=\frac {|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt {A^2+B^2+C^2}}
$$

点到线的距离

d=(xpx0)2+(ypy0)2+(zpz0)2其中,xpypzp为方程组{l(xx0)+m(yy0)+n(zz0)直线方程的解

曲线在某点处的切线和法平面

对于曲线{x=x(t)y=y(t)z=z(t)在点(x(t0),y(t0),z(t0))切线方程为:xx(t0)x(t0)=yy(t0)y(t0)=zz(t0)z(t0)法平面方程为:x(t0)[xx(t0)]+y(t0)[yy(t0)]+z(t0)[zz(t0)]=0

若不是参数方程形式的曲线,可以把$x’(t)$看作1,把整体对$x$求导得到$y’_x$和$z’_x$,代入上式

曲面在某点处得切平面与法线

在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为:Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0法线方程为:xx0Fx(x0,y0,z0)=yy0Fy(x0,y0,z0)=zz0Fz(x0,y0,z0)

二重积分

$\int dx\int dy\ $格式的二重积分

  1. 将未知数集中到后边;
  2. 计算后半部分积分;
  3. 计算前半部分积分;

交换积分次序

  1. 把未知数集中到后边;
  2. 画出积分区域;
  3. 将x和y的数字/式子交换,使之表示同一片区域;
  4. 写出交换结果

$\iint_{\Sigma}d\sigma\ $格式的二重积分

  1. 画出积分区域;
  2. 分离 x 和 y;
  3. 将$d\sigma\ $改成$dxdy\ $;
  4. 化为$\int dx\int dy\ $格式的二重积分求解;

与圆有关的二重积分

$$
令\ x=rcos\theta,\ y=rsin\theta,\ dxdy=rd\theta dr
$$

对称区域的二重积分

关于x轴对称,则若f(x,y)={f(x,y),Df(x,y)dσ=0f(x,y),Df(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσy轴同理,原点为f(x,y)f(x,y)的关系。

特殊情况

$$
\iint1d\sigma=区域面积
$$

三重积分

计算三重积分$\iiint_\Omega xdV$,其中Omega常见类型为:

Ax+By+Cz+D=0与三个坐标面球面(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1抛物面ax2+by2=Az与平面z=0锥面z=ax2+by2与平面z=A

  1. 使用z=?的形式表示上表面和下表面;
  2. 求$g(x, y)=\int_{下表面}^{上表面}f(x, y, z)dz$;
  3. 求$\Omega在平面xOy的投影Dxy$;
  4. 答案$=\iint_{Dxy}g(x, y)d\sigma\ $;

曲线积分

第一类曲线积分(质量)

对于曲线L={x=x(θ)y=y(θ)(αθβ)Lf(x,y)ds=αβf(x(θ),y(θ))(x(θ))2+(y(θ))2dθ对于直线L:y=y(x),θ换成x,视为:{x=xy=y(x)

多段积分,互相加减。

第二类曲线积分(坐标轴)

对于曲线L={x=x(θ)y=y(θ)(αθβ)LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=αβP(x(θ),y(θ))x(θ)+Q(x(θ),y(θ))y(θ)dθ对于直线L:y=y(x),θ换成x,视为:{x=xy=y(x)

多段积分,互相加减。

格林公式

对于第二类曲线积分LP(x,y)dx+Q(x,y)dy,L为正向(逆时针)无交叉闭曲线,P,QL的区域内有连续的一阶偏导,LPdx+Qdy=D(QxPy)dxdy逆时针则取负号。

重要结论

$$
对于第二类曲线积分\int_LP(x, y)dx+Q(x,y)dy, \
若\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},则积分与路径无瓜。
$$

特殊情况

$$
\int_L1ds=L长度
$$

曲面积分

第一类曲面积分(质量)

当Σ:z=z(x, y)时

公式:
$$
\iint_\Sigma f(x,y,z)ds=
\iint_{Dxy}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy
$$

  1. 画出Σ,表示出投影Dxy;
  2. 将Σ表示成z=?的形式,求出f(x, y, z(x, y));
  3. 求出z对x, y的偏导数;
  4. 代入公式;

Σ的其他形式以此类推。

第二类曲面积分(流量)

对于$\iint_\Sigma P(x, y, z)dydz$
x正向向负向看:{能看到曲面ΣΣP(x,y,z)dydz=DyzP(x(y,z),y,z)dydz看不到曲面ΣΣP(x,y,z)dydz=DyzP(x(y,z),y,z)dydz曲面Σ缩成线ΣP(x,y,z)dydz=0
答案$ans=\sum{ 所有部分 }$

对于其他情况($dxdz, dxdy$),以此类推。

Gauss公式

$$
\iint_{\partial\Omega}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz
$$

微分方程

可分离变量的微分方程

  1. 分离变量
  2. 两边积分

复合的微分方程

  1. 换元代入
  2. 分离积分
  3. 换回x, y

一阶线性系数非齐次微分方程

形如$y’=P(x)y=Q(x)\ $的微分方程叫做一阶线性系数非齐次微分方程,

通解为:
$$
y=e^{-\int P(x)dx}\cdot[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]
$$

二阶线性系数非齐次微分方程

首先有表:

特征方程的根 通解形式
$单实根a$ $C\cdot e^{ax}$
$k重实根a$ $e^{ax}(C_1+C_2x+…+C_kx^{k-1})$
$一对单复根a+bi$ $e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)$
$一对k重复根a+bi$ $e^{ax}[(C_1+C_2x+…+C_kx^{k-1})\cdot cosbx \+(D_1+D_2x+…+D_kx^{k-1})\cdot sinbx]$

求通解$\overline y\ $:

  1. 将x项暂时改为零;
  2. 将$y^{(n)}\ $改写成$r^n \ $,得到特征方程;
  3. 分解因式,求方程解,得到特征根;
  4. 根据特征根情况,对每个特征根划分类型;
  5. 各个特征根的结果相加即为通解;

求特解$y^*\ $:

  1. 将 x 项都化成$x^me^{\lambda x}\ $的形式,得出 m 和 λ ;

  2. 根据 λ 的值确定k的值:
    $$
    \begin{cases}
    \lambda 不是特征方程的根 &\Rightarrow k=0 \
    \lambda 是特征方程的单根 &\Rightarrow k=1 \
    \lambda 不是特征方程多重根 &\Rightarrow k=2 \
    \end{cases}
    $$

  3. 该特解为:
    $$
    y^*=x^k(b_0x^m+b_1x^{m-1}+…+b_mx^0)e^{\lambda x}
    $$

  4. 将得出的特解代入题干式子,求出b,消参;

  5. 求出特解;

微分方程的解为
$$
y=\overline y+\sum y^*_i
$$

后记

本小结到此结束,课标为郑州大学出版社的《微积分A2》。

本小结由冻葱Tewi撰写于20190622。

本文作者:冻葱Tewi
本文链接:https://blog.dctewi.com/2019/06/calculus-a2/
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