考前复习总结——微积分A2篇。

新渲染环境的Latex有一点缺陷,一些复杂Latex不能正常显示。如果想知道到底是啥样,可以自己复制走渲染一下()。

偏导数

多元复合函数偏导数

对于F=u(x)+v(x)+w(x)F = u(x) + v(x) + w(x),有:

Fx=Fuux+Fvvx+Fwwx\frac {\partial F} {\partial x} = \frac {\partial F} {\partial u}·\frac {\partial u} {\partial x}+\frac {\partial F} {\partial v}·\frac {\partial v} {\partial x}+\frac {\partial F} {\partial w}·\frac {\partial w} {\partial x}

以此类推。

注意:偏导数符号\partial只能对多元函数使用,若对应函数是单元函数,则应该使用微分符号dd

多元隐函数的偏导数

若隐函数$ F = f(x, y, z) $,其中 z 是关于 x, y 的函数,则:

zx=FxFz\frac {\partial z} {\partial x} = -\frac {\frac {\partial F} {\partial x}} {\frac {\partial F} {\partial z}}

对于 y 的偏导数也类似,约分后其实是一样的。

方向导数

若函数f(x, y)在点P(x0, y0)可微分,那么函数在该点任意方向l的方向导数存在且有:

fl(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)}=f'_x(x_0,y_0)cos\alpha+f'_y(x_0,y_0)cos\beta

梯度

grad f(x0,y0)=f(x0,y0)=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j=xi+yjf(x,y)P(x0,y0)el=(cosα,cosβ)l:fl(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ=grad f(x0,y0)el=grad f(x0,y0)cosθθ=grad (f(x0,y0), el)^grad\ f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)i+f'_y(x_0,y_0)j \\ \nabla =\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j \\ 若函数f(x, y)在点P(x_0,y_0)可微分,e_l=(cos\alpha,cos\beta)是与l同向的单位向量 \\ 则: \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0,y_0)} &=f'_x(x_0,y_0)cos\alpha+f'_y(x_0,y_0)cos\beta \\ &=grad\ f(x_0,y_0)\cdot e_l \\ &=|grad\ f(x_0,y_0)|cos\theta \\ 其中\theta=\widehat{grad\ (f(x_0,y_0),\ e_l)} \end{aligned}

一些性质

成员相同,则结果相同,与路径无关。

2Zxy=2Zyx\frac {\partial^2 Z} {\partial x \partial y} = \frac {\partial^2 Z} {\partial y \partial x}

全微分

多元函数的全微分

dZ=Zxdx+Zydy+...dZ=\frac {\partial Z} {\partial x}dx + \frac {\partial Z} {\partial y}dy+...

由全微分求未知参数

先把全微分中的Zx\frac {\partial Z} {\partial x}对应到具体的表达式,然后对另外一个变量求偏导。因为成员相同则结果相同,得到方程。求解即可。

多元函数求极值

  1. 求出满足zx=0\frac {\partial z} {\partial x} = 0zy=0\frac {\partial z} {\partial y} = 0的解(x,y)(x, y)

  2. 令$ A = \frac {\partial^2 z}{\partial x^2},B=\frac {\partial^2 z}{\partial x\partial y}, C=\frac {\partial^2 z}{\partial y^2} $,将第一步的解代入,求出A, B, C。

  3. 求$$B^2-AC$$的值,有:

    B^2-AC\begin{equation} \left\{ \begin{array}{**lr**} <0, A<0 &极大值 \\ <0, A>0 &极小值 \\ =0 &不确定\\ >0 &不是极值点 \end{array} \right. \end{equation}

  4. 极值为函数在(x, y)的值。

多元隐函数求极值

与上述步骤相似,第一步中的方程组加上原方程。

多元函数求最值

  1. 求出偏导=0的解。
  2. 找出定义域的边界。
  3. 将解和边界都带入原函数,求出结果。
  4. (对于式子,取最大值和最小值。)
  5. 取这些函数值的最值。

一些知识点

  1. 如果一个多元函数的偏导在某一点连续,那么该函数在改点可微。
  2. 如果一个多元函数在某一点可微,则这个函数在该点连续。
  3. 如果一个多元函数在某一点可微,则这个函数在该店有偏导。
  4. 连续与偏导无关。
graph LR
偏导连续-->函数可微
函数可微-->函数连续
函数可微-->函数能偏导

空间向量

向量长度

a=a12+a22+...|\vec a|=\sqrt {a^2_1+a^2_2+...}

向量点乘

\begin{equation} \begin{aligned} \vec a\cdot\vec b &=(x_1,y_1,z_1)\cdot(x_2,y_2,z_2)\\ &=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \end{aligned} \end{equation}

向量叉乘

\begin{equation} \begin{aligned} \vec a\times\vec b &=(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3) \\ &=\left| \begin{array} \\ \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array} \right| \\ &=\vec i\left| \begin{array} \\ a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array} \right|+ \vec j\left| \begin{array} \\ a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{array} \right|+ \vec k\left| \begin{array} \\ a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array} \right| \end{aligned} \end{equation}

向量夹角

ab=abcosθ\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot cos\theta

向量投影

aProjection=abbaProjection=aProjectionbb|\vec{a_{Projection}}|=\frac {\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|} \\ \vec {a_{Projection}}=|\vec{a_{Projection}}|\cdot\frac {\vec b}{|\vec b|}

一些结论

  • 点乘为0,则向量垂直。
  • 叉乘为0,则向量平行。
  • 向量各坐标成比例,则向量平行。
  • 若 向量a × 向量b = 向量c,则 c 垂直于 a, b 和其所在平面。

空间几何

表示方法

Ax+By+Cz+D=0n=(A,B,C)平面方程:Ax+By+Cz+D=0 \\ 对应法向量:\vec n=(A, B, C) \\

线LM(x0,y0,z0),s=(l,m,n)L:xx0l=yy0m=zz0n线线直线L经过点M(x_0,y_0,z_0),且方向向量为\vec s=(l, m, n) \\ 则L:\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} \\ 两个面联立表示其交线,叫做直线的一般式方程 \\

点到面的距离

d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2d=\frac {|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt {A^2+B^2+C^2}}

点到线的距离

d=(xpx0)2+(ypy0)2+(zpz0)2xpypzp{l(xx0)+m(yy0)+n(zz0)线d=\sqrt{(x_p-x_0)^2+(y_p-y_0)^2+(z_p-z_0)^2} \\ 其中,x_p、y_p、z_p为方程组 \begin{cases} l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0) \\ 直线方程 \end{cases} 的解

曲线在某点处的切线和法平面

线{x=x(t)y=y(t)z=z(t)(x(t0),y(t0),z(t0))线:xx(t0)x(t0)=yy(t0)y(t0)=zz(t0)z(t0):x(t0)[xx(t0)]+y(t0)[yy(t0)]+z(t0)[zz(t0)]=0线x(t)1xyxzx,对于曲线 \begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{cases} 在点(x(t_0), y(t_0), z(t_0))的\\ 切线方程为:\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)}\\ 法平面方程为:x'(t_0)[x-x(t_0)]+y'(t_0)[y-y(t_0)]+z'(t_0)[z-z(t_0)]=0\\ 若不是参数方程形式的曲线,可以把x'(t)看作1,把整体对x求导得到y'_x和z'_x,代入上式

曲面在某点处得切平面与法线

(x0,y0,z0):Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0线:xx0Fx(x0,y0,z0)=yy0Fy(x0,y0,z0)=zz0Fz(x0,y0,z0)在点(x_0, y_0, z_0)处的 \\ 切平面方程为:F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0 \\ 法线方程为:\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}

二重积分

$\int dx\int dy\ $格式的二重积分

  1. 将未知数集中到后边;
  2. 计算后半部分积分;
  3. 计算前半部分积分;

交换积分次序

  1. 把未知数集中到后边;
  2. 画出积分区域;
  3. 将x和y的数字/式子交换,使之表示同一片区域;
  4. 写出交换结果

$\iint_{\Sigma}d\sigma\ $格式的二重积分

  1. 画出积分区域;
  2. 分离 x 和 y;
  3. 将$d\sigma\ 改成dxdy\ $;
  4. 化为$\int dx\int dy\ $格式的二重积分求解;

与圆有关的二重积分

 x=rcosθ, y=rsinθ, dxdy=rdθdr令\ x=rcos\theta,\ y=rsin\theta,\ dxdy=rd\theta dr

对称区域的二重积分

xf(x,y)={f(x,y),Df(x,y)dσ=0f(x,y),Df(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσyf(x,y)f(x,y)关于x轴对称,则若f(-x,y)= \begin{cases} -f(x,y),则\iint_Df(x,y)d\sigma=0 \\ f(x,y),则\iint_Df(x,y)d\sigma=2\iint_{\frac{D}{2}}f(x,y)d\sigma \end{cases}\\ y轴同理,原点为f(-x,-y)与f(x,y)的关系。

特殊情况

1dσ=\iint1d\sigma=区域面积

三重积分

计算三重积分ΩxdV\iiint_\Omega xdV,其中Omega常见类型为:

Ax+By+Cz+D=0(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2x2a2+y2b2+z2c2=1ax2+by2=Azz=0z=ax2+by2z=A面Ax+By+Cz+D=0与三个坐标面\\ 球面(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\\ 椭球面\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\\ 抛物面ax^2+by^2=A-z与平面z=0\\ 锥面z=\sqrt{ax^2+by^2}与平面z=A

  1. 使用z=?的形式表示上表面和下表面;
  2. g(x,y)=f(x,y,z)dzg(x, y)=\int_{下表面}^{上表面}f(x, y, z)dz
  3. ΩxOyDxy\Omega在平面xOy的投影Dxy
  4. 答案$=\iint_{Dxy}g(x, y)d\sigma\ $;

曲线积分

第一类曲线积分(质量)

线L={x=x(θ)y=y(θ)(αθβ)Lf(x,y)ds=αβf(x(θ),y(θ))(x(θ))2+(y(θ))2dθ线L:y=y(x),θx,:{x=xy=y(x)对于曲线L= \begin{cases} x=x(\theta) \\ y=y(\theta) \end{cases}(\alpha\le\theta\le\beta) \\ \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(x(\theta), y(\theta))\cdot\sqrt{(x'(\theta))^2+(y'(\theta))^2}d\theta \\ 对于直线L:y=y(x),将\theta 换成x,视为: \begin{cases} x=x \\ y=y(x) \end{cases}

多段积分,互相加减。

第二类曲线积分(坐标轴)

线L={x=x(θ)y=y(θ)(αθβ)LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=αβP(x(θ),y(θ))x(θ)+Q(x(θ),y(θ))y(θ)dθ线L:y=y(x),θx,:{x=xy=y(x)对于曲线L= \begin{cases} x=x(\theta) \\ y=y(\theta) \end{cases}(\alpha\le\theta\le\beta) \\ \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= \int_\alpha^\beta P(x(\theta),y(\theta))\cdot x'(\theta)+ Q(x(\theta),y(\theta))\cdot y'(\theta)d\theta\\ 对于直线L:y=y(x),将\theta 换成x,视为: \begin{cases} x=x \\ y=y(x) \end{cases}

多段积分,互相加减。

格林公式

线LP(x,y)dx+Q(x,y)dy,L()线,P,QL,LPdx+Qdy=D(QxPy)dxdy对于第二类曲线积分\int_LP(x, y)dx+Q(x,y)dy, \\ 若L为正向(逆时针)无交叉闭曲线,且P,Q在L的区域内有连续的一阶偏导,则 \\ \oint_LPdx+Qdy=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \\ 逆时针则取负号。

重要结论

线LP(x,y)dx+Q(x,y)dy,Qx=Py,对于第二类曲线积分\int_LP(x, y)dx+Q(x,y)dy, \\ 若\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},则积分与路径无瓜。

特殊情况

L1ds=L\int_L1ds=L长度

曲面积分

第一类曲面积分(质量)

当Σ:z=z(x, y)时

公式:

Σf(x,y,z)ds=Dxyf(x,y,z(x,y))1+(zx)2+(zy)2dxdy\iint_\Sigma f(x,y,z)ds= \iint_{Dxy}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy

  1. 画出Σ,表示出投影Dxy;
  2. 将Σ表示成z=?的形式,求出f(x, y, z(x, y));
  3. 求出z对x, y的偏导数;
  4. 代入公式;

Σ的其他形式以此类推。

第二类曲面积分(流量)

对于ΣP(x,y,z)dydz\iint_\Sigma P(x, y, z)dydz

x:{ΣΣP(x,y,z)dydz=DyzP(x(y,z),y,z)dydzΣΣP(x,y,z)dydz=DyzP(x(y,z),y,z)dydzΣ线ΣP(x,y,z)dydz=0从x正向向负向看: \begin{cases} 能看到曲面\Sigma& \iint_\Sigma P(x,y,z)dydz=\iint_{Dyz}P(x(y,z),y,z)dydz \\ 看不到曲面\Sigma& \iint_\Sigma P(x,y,z)dydz=-\iint_{Dyz}P(x(y,z),y,z)dydz \\ 曲面\Sigma缩成线& \iint_\Sigma P(x,y,z)dydz=0 \end{cases} \\

答案ans={}ans=\sum\{ 所有部分 \}

对于其他情况(dxdz,dxdydxdz, dxdy),以此类推。

Gauss公式

ΩPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Ω(Px+Qy+Rz)dxdydz\iint_{\partial\Omega}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz

微分方程

可分离变量的微分方程

  1. 分离变量
  2. 两边积分

复合的微分方程

  1. 换元代入
  2. 分离积分
  3. 换回x, y

一阶线性系数非齐次微分方程

形如$y'=P(x)y=Q(x)\ $的微分方程叫做一阶线性系数非齐次微分方程,

通解为:

y=eP(x)dx[Q(x)eP(x)dxdx+C]y=e^{-\int P(x)dx}\cdot[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]

二阶线性系数非齐次微分方程

首先有表:

特征方程的根 通解形式
a单实根a CeaxC\cdot e^{ax}
kak重实根a eax(C1+C2x+...+Ckxk1)e^{ax}(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1})
a+bi一对单复根a+bi eax(C1cosbx+C2sinbx)e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)
ka+bi一对k重复根a+bi eax[(C1+C2x+...+Ckxk1)cosbx+(D1+D2x+...+Dkxk1)sinbx]e^{ax}[(C_1+C_2x+...+C_kx^{k-1})\cdot cosbx \\+(D_1+D_2x+...+D_kx^{k-1})\cdot sinbx]

求通解$\overline y\ $:

  1. 将x项暂时改为零;
  2. 将$y{(n)} $改写成$rn \ $,得到特征方程;
  3. 分解因式,求方程解,得到特征根;
  4. 根据特征根情况,对每个特征根划分类型;
  5. 各个特征根的结果相加即为通解;

求特解$y^*\ $:

  1. 将 x 项都化成$xme{\lambda x}\ $的形式,得出 m 和 λ ;

  2. 根据 λ 的值确定k的值:

    {λk=0λk=1λk=2\begin{cases} \lambda 不是特征方程的根 &\Rightarrow k=0 \\ \lambda 是特征方程的单根 &\Rightarrow k=1 \\ \lambda 不是特征方程多重根 &\Rightarrow k=2 \\ \end{cases}

  3. 该特解为:

    y=xk(b0xm+b1xm1+...+bmx0)eλxy^*=x^k(b_0x^m+b_1x^{m-1}+...+b_mx^0)e^{\lambda x}

  4. 将得出的特解代入题干式子,求出b,消参;

  5. 求出特解;

微分方程的解为

y=y+yiy=\overline y+\sum y^*_i

后记

本小结到此结束,课标为郑州大学出版社的《微积分A2》。

本小结由冻葱Tewi撰写于20190622。